Bài tập cực trị

Bài tập:
Tìm cực trị tự do của hàm z = (e^(y-x^2))(1-2x-2y)
Đáp án:

z = e^(y-x²) . (1-2x-2y).

Đạo hàm riêng của z theo x và y bằng:

dz/dx = 2e^(y-x²) . (-x+2x²+2xy-1)

dz/dy = -e^(y-x²) . (1+2x+2y).
Tọa độ của điểm cực trị của hàm 2 biến này thỏa mãn:
dz/dx = 0
dz/dy = 0
<=> hệ pt:
-x+2x²+2xy-1 = 0, (1)
1+2x+2y = 0. (2)
Từ (2) suy ra 2y = -1-2x, thay vào (1) thì được:
-x + 2x² + x(-1-2x) - 1 = 0
<=> -2x - 1 = 0
<=> x=-1/2.
suy ra y=-1+1= 0.

Như vậy nếu tồn tại điểm cực trị thì là điểm (-1/2,0).
----------------------------
Giờ ta chứng minh nó là điểm cực trị.
Cách đơn giản nhất là xét tiếp các đạo hàm riêng bậc hai:
d²z/dx² = -2e^(y-x²) . (1-6x-2y-2x²+4x^3+4x²y)
d²z/(dxdy) = 2e^(y-x²) . (x+2x²+2xy-1)
d²z/dy² = -e^(y-x²) . (3+2x+2y)
Tại điểm (-1/2,0) thì:
d²z/dx² | (x=-1/2, y = 0) = -6.e^(-1/4)
d²z/(dxdy) | (x=-1/2, y = 0) = -2.e^(-1/4)
d²z/dy² | (x=-1/2, y = 0) = -2.e^(-1/4).

Như vậy tại điểm (x=-1/2, y=0) thì:
d²z/dx² < 0
và định thức của ma trận (2x2):
d²z/dx² ---------------- d²z/(dxdy)
d²z/(dxdy) -------------- d²z/dy²
bằng:
-6e^(-1/4) --------------- -2e^(-1/4)
-2e^(-1/4) ---------------- -2e^(-1/4))
và bằng
8.(e^(-1/4))² > 0

Do đó, theo định lí Sylvester thì điểm (-1/2,0) là điểm cực đại của hàm số đã cho.